理系の人はともかく、Adobe ソフトから入った人、絵描きから入った人は「パス」を描くときにハンドルの方向を動かすことで感覚的に曲線を描いていて、その法則性まではなかなか理解していないと思います。描き方を教えるところは多いけど、アルゴリズムまでちゃんと教えるところは少ないし、何よりグラフィッカーで理解できる人少ないから。
避けては通れないパラメトリック曲線、バーンスタイン多項式などについては丸投げしつつ。
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ベジェ曲線 - Wikipedia
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バーンスタイン多項式 - Wikipedia
Illustrator のパス（アンカーポイント＆ハンドル）は、連結されたベジエ曲線で構成されているのですが、ハンドルと制御点を同じ図で再現してみると以下のような感じ。
これが理解できると、曲線がどのように生成されるかが理解できます。ハンドルの端点は中点になっているわけですね。
この中点の構造が理解できない人は、英語版のベジエ曲線の項目が詳しいので、そちらを閲覧することをおすすめします。
英語が分からなくても図やアニメーションで表現されていて、特にアニメーションの方で理解できると思います。
ページ下部の方で動きながら描画される曲線を見たら一発で理解できます。
っていうか、Wikipedia って全世界で共通の内容を翻訳しているわけじゃなくて、それぞれの国で独立した内容で作られるのですね…。けっこうレベルが変わってきてしまう。
■Bézier curve - Wikipedia（英語）
https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve
ちなみにド・カステリョのアルゴリズムの説明は日本版には無いのですが、英語版にはあります。
■De Casteljau's algorithm - Wikipedia（英語）
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Casteljau%27s_algorithm
そしてもうひとつ、描画だけでなく
インターフェースとしてベジエ曲線の美しさといったら。
例えば物体がだんだんと加速していく様を設定するときなど、ベジエ曲線を描いて設定、逆算することで簡単に直感的に入力することができます。音楽、動画、ありとあらゆるソフトでこの方式が採用されていますが、いつ見てもこれ凄い良いインターフェースだなと言わざるを得ません。
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